Числа. комплексные (мнимые) числа

Извлечение корня.

Рассмотрим уравнение
$$
z^n=a,\label{ref22}
$$
где \(a\neq 0\) — комплексное число, \(n\) — натуральное число.

Если \(z=re^{i\varphi}, \ a=\rho e^{i\theta}\), то уравнение \eqref{ref22} примет вид
$$
r^n e^{in\varphi}=\rho e^{i\theta},\nonumber
$$
откуда
$$
r^n=\rho,\quad n\varphi=\theta+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},\nonumber
$$
и поэтому
$$
r=\sqrt{\rho},\qquad \varphi_k=\frac{1}{n}(\theta+2k\pi),\quad k\in \mathbb{Z},\label{ref23}
$$
то есть числа
$$
z_k=\sqrt{\rho}e^{i\varphi_k}\label{ref24}
$$
являются корнями уравнения \eqref{ref22} и других корней это уравнение не имеет.

Заметим, что числа \(z_0,\ z_1,\ …,\ z_{n-1}\) различны, так как их аргументы \(\displaystyle\varphi_0=\frac{\theta}{n},\ \varphi_1=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n},\ …,\ \varphi_{n-1}=\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi(n-1)}{n}\) различны и отличаются друг от друга меньше, чем на \(2\pi\). Далее, \(z_n = z_0\), так как \(|z_n| = |z_0|=\displaystyle\sqrt{\rho}\) и \(\varphi_n=\varphi_0+2\pi\). Аналогично, \(z_{n+1} = z_1,\ z_{-1} = z_{n-1}\) и т. д.

Итак, при \(a\neq 0\) уравнение \eqref{ref22} имеет ровно \(n\) различных корней, определяемых формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(k=0,1,…,n-1\).

На комплексной плоскости точки \(z_k\ (k=\overline{0,n-1})\) располагаются в вершинах правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(\displaystyle \sqrt{\rho}\) с центром в точке 0.

Пример 5.

Найти все корни уравнения \(z^4 = 1 + i\).

\(\triangle\) Корни \(z_k\ (k = \overline{0,3})\) этого уравнения определяются формулами \eqref{ref23} и \eqref{ref24}, где \(\displaystyle \rho=|1 + i| =\sqrt{2},\ \theta=\frac{\pi}{4}\), то есть
$$
z_k=\sqrt{2}e^{i\varphi_k},\nonumber
$$
где
$$
\varphi_k=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\quad k=0,1,2,3.\nonumber
$$

Рис. 31.6

Точки \(z_k\) располагаются в вершинах квадрата (рис. 31.6). \(\blacktriangle\)

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей  а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

 

Ну, раз  бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. 

 

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

 

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественнаяполуось	x > 0 , y = 0	φ = 2kπ
	x > 0 , y > 0
Положительнаямнимаяполуось	x = 0 , y > 0
	x < 0 , y > 0
Отрицательнаявещественнаяполуось	x < 0 , y = 0	π	φ = π + 2kπ
	x < 0 , y < 0
Отрицательнаямнимаяполуось	x = 0 , y < 0
	x > 0 , y < 0

Расположениечисла  z	Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x > 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x > 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x < 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x > 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Комплексные числа — определение и основные понятия

Обычные числа представляют собой множество действительных чисел, для обозначения которых используют букву R. Каждое число из множества можно отметить на числовой прямой.

К действительным числам носят:

• целые числа;
• дроби;
• иррациональные числа.

Каждая точка на числовой прямой характеризуется некоторым действительным числом. Комплексное число является двумерным числом и записано в виде:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

z = a + bi

Где а и b являются действительными числами, i представляет собой так называемую мнимую единицу.

Уравнение можно мысленно поделить на несколько частей:

• a — действительная часть (Re z) комплексного числа z;
• b — мнимая часть (Im z) комплексного числа z.

Следует отметить, что a + bi является единым числом, а не сложением. Места действительной и мнимой частей в уравнении можно менять:

z = bi + a

Мнимую единицу допускается переставлять:

z = a + ib

При таких операциях смысл выражения остается прежним. Однако стандартная запись комплексного числа имеет такой вид:

z = a + bi

Определение

Комплексным числом называют выражение a + bi, в котором а и b являются действительными числами, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2=-1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i записывают a. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Данное утверждение можно привести в виде геометрической интерпретации. Тогда комплексные числа изображают на комплексной плоскости.

С помощью R обозначаю множество действительных чисел. В случае, когда требуется обозначить множество комплексных чисел, принято использовать букву С. Наличие буквы С на чертеже говорит о том, что на нем представлена комплексная плоскость. Данная плоскость включает две оси:

Re z — является действительной осью;

Im z — представляет собой мнимую ось.

Правила оформления такого графика практически не отличаются от требований к чертежам для декартовой системы координат. По осям задают масштаб и отмечают:

• ноль;
• единицу для действительной оси;
• мнимую единицу i для мнимо оси.

С помощью комплексной плоскости можно построить заданные комплексные числа:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

\(z_{4}=i\)

\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)

\(z_{6}=4i\)

\(z_{7}=2+3i\)

\(z_{8}=-4+i\)

\(z_{9}=-3-3i\)

\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)

Можно рассмотреть следующие комплексные числа:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на данной оси расположены все числа с обычными свойствами. Можно сформулировать справедливое утверждение: множество действительных чисел R представляет собой подмножество множества комплексных чисел С.

Данные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых нулевая:

\(z_{1}=0\)

\(z_{2}=-3\)

\(z_{3}=2\)

Мнимые числа с нулевой действительностью, которые расположены на мнимой оси Im z:

\(z_{4}=i\)

\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)

\(z_{6}=4i\)

Есть ряд чисел с ненулевыми действительной и мнимой частью:

\(z_{7}=2+3i\)

\(z_{8}=-4+i\)

\(z_{9}=-3-3i\)

\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)

Для их обозначения используют точки на комплексной плоскости. К таким точкам проводят радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы не принято чертить к числам, которые расположены на осях и сливаются с ними.

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

• выбираете нужное действие;
• после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

• Формат heic, чем открыть, что это такое?
• Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
• Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
• Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
• Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Определения и формулы

При изучении колебательных процессов в электротехнике и электронике рассматривают источники гармонических сигналов и реактивные нагрузки. При этом для решения сложных уравнений приходится пользоваться не только вещественными, но и комплексными числами. Комплексные числа позволяют выполнять математические операции с комплексными амплитудами и их удобно применять для анализа цепей с синусоидальными токами и напряжениями. С помощью комплексных чисел можно выполнять арифметические действия с величинами, имеющими амплитуду и фазовый угол, а синусоидальные напряжения и другие параметры цепей переменного тока точно характеризуются амплитудой и фазовым углом. Подробнее о таких расчетах — в наших and .

Комплексное число z можно выразить в форме z = x + jy, где x и y — вещественные числа и j — мнимая единица, определяемая формулой j² = –1. В комплексном числе x + jy, величина x называется вещественной частью, а величина y называется мнимой частью. В электротехнике для обозначения мнимой единицы используется буква j, так как буквой i принято обозначать мгновенное значение тока. В математике вместо j обычно используют букву i.

Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представлено в виде точки и вектора на комплексной плоскости

Комплексные числа визуально представляются в виде вектора на комплексной плоскости, которая является модифицированной прямоугольной системой координат. В ней на горизонтальной оси Re изображается вещественная часть комплексного числа, а на вертикальной оси Im — его мнимая часть. Любое комплексное число можно представить в виде смещения на горизонтальной оси (вещественная часть) и смещения на вертикальной оси (мнимая часть).

Комплексное число можно также представить на комплексной плоскости в полярной системе координат. Полярное представление состоит из вектора с абсолютной величиной r и угловым положением φ относительно горизонтальной оси 0° и выражается как

В электротехнике и электронике для описания изменяющегося во времени гармонического сигнала используется векторное представление в комплексной форме в полярных координатах, называемое также комплексной амплитудой и фазором (от англ. phase vector — фазовый вектор). Длина вектора представляет амплитуду синусоидальной функции, а угол φ представляет угловое положение вектора. Положительные углы измеряются от начальной оси 0° в направлении против часовой стрелки, а отрицательные углы — по часовой стрелке. Особенно популярен этот метод в учебниках по теоретическим основам электротехники и основам теории цепей на английском языке. В этом их отличие от соответствующих учебников на русском языке, где используется иной подход к анализу. Причем, в отличие от учебников на русском языке, в англоязычной литературе принято обозначение комплексных чисел в полярной системе координат с углом: z = x + jy = rejφ = r∠φ.

Поскольку представление комплексного числа в полярных координатах основано на прямоугольном треугольнике, для определения амплитуды и фазового угла комплексного числа можно воспользоваться теоремой Пифагора, как описано ниже.

Для преобразования из прямоугольных координат x, y в полярные координаты r, φ, используйте следующие формулы:

Если эти формулы используются для электротехнических расчетов (см. Калькулятор мощности переменного тока and Калькулятор мощности трехфазного тока), то x всегда положительно, а y положительно для индуктивной нагрузки (ток отстает от напряжения) и отрицательно для емкостной нагрузки (ток опережает напряжение). В этом случае для емкостных нагрузок углы должны получаться отрицательными в диапазоне –90°≤φ≤0 и их не корректируют, как описано в приведенных выше формулах (то есть, не добавляют 360°).

Преобразование из полярных координат r, φ в прямоугольные coordinates x, y, выполняется по формулам:

где

Автор статьи: Анатолий Золотков

Math Solution

Функциональный и удобный сервис, позволяющий выполнять сразу четыре  алгебраические операции: на сложение, вычитание, деление и умножение. Ознакомимся с основными рабочими этапами:

просмотрите правила ввода, кликнув на «+»;

• введите необходимые значения;
• посчитайте, для этого есть специальная кнопка с вычислением;

получите результат и подробное описание.

Этот ресурс станет настоящей находкой для старшеклассников. Легко заменит репетиторов и дорогие учебники. Подробное и понятное описание теории и принципов решения позволит быстро усвоить необходимый материал. Здесь вы не просто решаете задачи, используете онлайн калькулятор с подробным решением, но и можете легко понять, как это вычислялось.

Комплекснозначные функции действительного переменного.

Если каждому значению \(t\in \) поставлено в соответствие комплексное число \(z=z(t)\), то говорят, что на отрезке \(\) задана комплекснозначная функция действительного переменного.

Пусть \(\operatorname{Re}z(t) = x(t),\ \operatorname{Im}z(t) = y(t)\), тогда \(z(t) = x(t)+iy(t)\). Функцию \(z(t)\) можно рассматривать как вектор-функцию \(z(t)=(x(t),y(t))\). Определения предела, непрерывности, производной для комплекснозначной функции аналогичны соответствующим определениям для вектор-функции.

Например, производная функции \(z(t) = x(t) + iy(t)\) определяется формулой
$$
z'(t) = x'(t) + iy'(t).\label{ref25}
$$
Следовательно, производная \(z'(t)\) существует, если существуют производные \(x'(t)\) и \(y'(t)\).

Применяя формулу \eqref{ref25} к функции \(e^{it}=\cos t+i\sin t\), получаем \((e^{it})’=-\sin t+i\cos t=i^2\sin t + i\cos t = i(\cos t + i\sin t)\), то есть
$$
(e^{it})’=i e^{it}.\label{ref26}
$$

Таким образом, формула для производной комплексной функции \(e^{it}\) имеет такой же вид, как и для функции \(e^{\alpha t}\), где \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Определим теперь показательную функцию \(\displaystyle e^{(\alpha+i\beta)t}\), где \(\alpha,\beta\) — заданные действительные числа, \(t\) — действительное переменное. Функция \(f(t) = e^t\), где \(t\in\mathbb{R}\), удовлетворяет условию
$$
f(t_1)f(t_2) = f(t_1+t_2).\label{ref27}
$$

Аналогично функция \(e^{i\beta t}\), где \(\beta\in\mathbb{R}\), обладает свойством \eqref{ref27} в силу первого из равенств \eqref{ref18}.

Поэтому функцию    \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) естественно определить так, чтобы для нее выполнялось условие \eqref{ref27}, то есть
$$
e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}e^{i\beta t}.\nonumber
$$

Используя формулу \eqref{ref15}, отсюда находим
$$
e^{(\alpha+i\beta)t} = e^{\alpha t} (\cos \beta t+i\sin\beta t).\label{ref28}
$$
Применяя к функции \(e^{\lambda t}\), где \(\lambda=\alpha+i\beta\), правило дифференцирования \eqref{ref25}, легко показать, что
$$
(e^{\lambda t})=\lambda e^{\lambda t},\quad \lambda=\alpha+i\beta.\label{ref29}
$$

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекснозначной функции \(z(t)=x(t)+iy(t)\) определяется формулой
$$
\int z(t) dt = \int x(t) dt + i\int y(t) dt.\nonumber
$$

Если комплексная функция \(\omega(t) = \xi(t) + i\eta (t)\) такова, что \(\omega'(t)=z(t)\), то
$$
\int z(t)=\int \omega'(t)dt=\int \xi'(t)dt+i\int \eta'(t)dt = \xi(t) + C_1 + i\eta(t)+iC_2.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
\int z(t) dt = \omega(t) + C,\quad C = C_1+iC_2.\nonumber
$$
Применяя это утверждение к функции \(e^{(\alpha+i\beta)t}\) и используя формулу \eqref{ref29}, получаем
$$
\int e^{(\alpha+i\beta)t}=\displaystyle \frac{e^{(\alpha+i\beta)t}}{\alpha+i\beta}+C_1+iC_2.\label{ref30}
$$

Выделяя в равенстве \eqref{ref30} действительные и мнимые части, находим
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt + i\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt = \frac{\alpha-i\beta}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)+C_1+C_2,\nonumber
$$
откуда получаем
$$
\int e^{\alpha t}\cos\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\cos\beta t+\beta\sin\beta t)+C_1,\label{ref31}
$$
$$
\int e^{\alpha t}\sin\beta t dt=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+C_2,\label{ref32}
$$

Заметим, что формула \eqref{ref31} была получена с помощью в .